Tommy

Tommy31286

Un paradosso matematico (attribuito a Galileo

Ogni numero ha il suo quadrato, per esempio:


i numeri   ( 1,   2,   3,   4,   5, ecc.) hanno

i quadrati ( 1,   4,   9, 16, 25, ecc.) da questo si deduce (ovviamente) che


tanti sono i numeri, e tanti sono i quadrati.


Allora come si spiega che ai quadrati mancano  i numeri   2, 3, 5, 6, 7, ecc. ?


 02/07/2018 12:40:58
utente anonimo
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14 commenti
Alerage

Alerage24894

musicista fallito e programmatore svogliato

non sono un cima in matematica, ma credo che il problema sia malposto o che manchi qualche prerequisito, visto che le 2 proposizioni logiche "ogni numero ha il suo quadrato" (in N) e "tanti sono i numeri e tanti sono i quadrati" non implicano che "ogni quadrato abbia un numero radice"(in N) e se si considera l'insieme R, il paradosso non esiste neanche.


 02/07/2018 22:21:28
Tommy

Tommy31286

Alerage, complimenti per il tuo interesse per la matematica, cosa rara in questo sito.


Il "paradosso" parla di quadrati e non di radici, ed  è presente in ogni insieme di numeri interi positivi (naturali, relativi, reali, ecc.)


Il paradosso è caratteristico degli insiemi infiniti e "appare" perché siamo abituati a pensare in termini di insiemi finiti:  ogni parte (propria) di un insieme finito è minore dell'insieme totale.


Negli insiemi infiniti non è così, ogni parte infinita (i quadrati) di un insieme infinito (i numeri interi) ha lo stesso "numero infinito" (se si potesse dire "numero infinito") di elementi .


Intuitivamente, immagina una rincorsa: i numeri interi corrono piano  mentre i quadrati vanno a salti sempre più grandi, ma la corrispondenza non si interrompe mai (più avanti c'è sempre il quadrato del numero), perché la strada è infinita.


Se vuoi un spiegazione più corretta, leggi la risposta di @FlavioBertamini .

 03/07/2018 06:37:59
FlavioBertamini

FlavioBertamini88624

Dead man walking

in risposta a ↑

Tommy, si parla propriamente di numeri transfiniti. L'insieme dei numeri naturali N è caratterizzato dal numero "Aleph con 0", così come l'insieme dei quadrati di tali numeri. Invece l'insieme R, una retta euclidea o un segmento, sono legati al numero Aleph con 1. Il risultato più ecclatante di Cantor è che i numeri razionali, pur apparendo molti di più dei numeri naturali, hanno invece la stessa potenza ... Insomma l'infinitezza di R è di un ordine sueriore. Infine ogni numero transfinito ammette un successivo ... Quindi esistono infiniti gradi di infinito!

 03/07/2018 08:47:40
FlavioBertamini

FlavioBertamini88624

Dead man walking

in risposta a ↑

Tommy, il tuo commento mi appare corretto e congruente! Non possiamo pretendere dai post in rete il rigore di un testo specialistico.

 03/07/2018 08:52:09
FlavioBertamini

FlavioBertamini88624

Dead man walking

Una delle proprietà degli insiemi infiniti è proprio questa: essere equipotenti ad una loro parte propria. Lo stesso accade tra un segmento aperto (estremi esclusi) ed una retta: sono equipotenti, cioè hanno lo "stesso numero" di punti. Se leggi qualcosa sull'opera di Cantor, il tutto diventa facile da capire.

 03/07/2018 05:54:53
Tommy

Tommy31286

Bentornato FlavioBertamini,  e grazie per la risposta (sempre precisa e pertinente).

 03/07/2018 06:40:10
Guerriera_della_Luce

Guerriera_della_Luce22891

Libera pensatrice

non conosco il quesito originale, ma ti posso dire che è semplicemente scritto tutto male e con degli elementi mancanti, per cui non si può assolutamente parlare di paradossi


l'inghippo mi è saltato all'occhio in maniera praticamente istantanea, e non sono un genio


"tanti sono i numeri e tanti sono i quadrati", ed è giusto, ma "i numeri" non sono solamente i numeri interi...........sono tutti i numeri!


pure 7,4 è un numero

pure 1,666666666666666 all'infinito (1,6 periodico) è un numero


quindi la frase è corretta ma poi questo post fa riferimento solo ai numeri interi


l'insieme dei numeri interi pure è infinito, e ok

anche l'insieme dei quadrati dei numeri interi (che sono anch'essi numeri interi) è infinito, e ok


tutti i numeri interi, oltre ad avere un quadrato, hanno anche una radice quadrata, ed è corretto anche questo.........ma non sempre questa è un numero intero! ecco dove sta l'errore


per cui in realtà 2, 3, 5, 6, 7, ecc hanno anche loro una radice quadrata, sono anche loro dei quadrati.............ma di numeri non interi


2 ad esempio è il quadrato di 1.41421356237

 02/12/2018 12:31:23
Tommy

Tommy31286

Guerriera_della_Luce, ok, hai ragione, ho trascurato di precisare a quali numeri mi riferivo.


In realtà mi riferivo al tipo più semplice di numeri, quelli naturali (N).


Se cerchi su Wikipedia "numeri naturali", scoprirai che esistono varie specie di numeri, dai più semplici (numeri naturali) ai più complicati (numeri complessi).


Nei numeri naturali non esiste la radice quadrata, infatti noterai che nel mio topic non ne ho parlato.


Esiste però il quadrato, e il paradosso di Galileo ha bisogno di un'altra soluzione, diversa da quella che hai dato tu.


(Per parlare della radice quadrata bisogna salire la scala delle specie di numeri fino ai numeri reali.)


Apprezzo comunque il tuo tentativo, e ti ringrazio per aver riportato questo post, ormai dimenticato, agli "onori della cronaca".


 02/12/2018 15:14:43
Guerriera_della_Luce

Guerriera_della_Luce22891

Libera pensatrice

in risposta a ↑

Tommy, il fatto è che "tanti sono i numeri e tanti sono i quadrati" non significa che ogni numero naturale dev'essere per forza il quadrato di un altro se è stabilito e dimostrato che ogni numero ha un quadrato


"tanti....tanti....." perchè sono entrambi infiniti gli insiemi, e comunque sia non sono sovrapponibili


dov'è il paradosso?


almeno è quello che vedo io


quando c'è l'infinito di mezzo non valgono le stesse regole di quelle per le grandezze limitate

come dire che i numeri naturali sono infiniti e la metà sono pari......la metà di infinito, che è sempre infinito........è un pò la stessa cosa


i quadrati perfetti dei numeri, allo stesso modo, pur essendo molti meno di tutti i numeri sono ugualmente numerosi (infiniti), ma solo perchè si parla di infinito e perciò valgono altre leggi diverse da quelle che valgono per le grandezze finite

 02/12/2018 15:40:25
Tommy

Tommy31286

in risposta a ↑

Guerriera_della_Luce, 


Riguardo la domanda "dov'è il paradosso?" ti rimando alla definizione di paradosso su Wikipedia.


Comunque, la conclusione del tuo post:


"i quadrati perfetti dei numeri, allo stesso modo, pur essendo molti meno di tutti i numeri sono ugualmente numerosi (infiniti), ma solo perchè si parla di infinito e perciò valgono altre leggi diverse da quelle che valgono per le grandezze finite"


è, a mio parere, una buona "soluzione" del paradosso.



 03/12/2018 06:14:18
Robbins

Robbins92226

1.731*1.731 fa 3

Grande paradosso

 02/12/2018 13:02:17
Tommy

Tommy31286

Robbins, 1.731*1.731 non fa 3.


Temo che serva qualche decimale in più.


Oppure ...


 02/12/2018 15:20:34
Robbins

Robbins92226

in risposta a ↑

Tommy, ma si!!

Basta fare la radice e trovi il numero con tutti i suoi decimali. 

Come h scritto @Guerriera_della_Luce 

 02/12/2018 18:32:00
Tommy

Tommy31286

in risposta a ↑

Robbins, 


E se i decimali fossero infiniti?


 03/12/2018 06:16:29

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